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2018全国Ⅱ卷文科数学高考真题_高三数学_数学_高中教育_教育专区

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2018全国Ⅱ卷文科数学高考真题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结


2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1. i ? 2 ? 3i ? ? A. 3 ? 2i B. 3 ? 2i C. ?3 ? 2i B? D. ?3 ? 2i 2.已知集合 A ? ?1,3,5,7? , B ? ?2,3, 4,5? ,则 A A. ?3? 3.函数 f ? x ? ? B. ?5? e x ? e? x 的图像大致为 x2 C. ?3,5? D. ?1, 2,3, 4,5,7? 4.已知向量 a , b 满足 | a | ? 1 , a ? b ? ?1 ,则 a ? (2a ? b) ? A.4 B.3 C .2 D.0 5.从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的 2 人都是女同学的概率 为 A. 0.6 6.双曲线 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a 2 b2 B. y ? ? 3x C. y ? ? 2 x 2 A. y ? ? 2 x 7.在 △ABC 中, cos A. 4 2 D. y ? ? 3 x 2 C 5 ? , BC ? 1 , AC ? 5 ,则 AB ? 2 5 B. 30 C. 29 D. 2 5 1 1 1 8.为计算 S ? 1 ? ? ? ? 2 3 4 ? 1 1 ? ,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入 99 100 开始 N ? 0, T ? 0 i ?1 是 1 i i ? 100 否 N?N? T ?T ? S ? N ?T 输出 S 结束 1 i ?1 A. i ? i ? 1 C. i ? i ? 3 B. i ? i ? 2 D. i ? i ? 4 9.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为棱 CC1 的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切 值为 A. 2 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 10.若 f ( x) ? cos x ? sin x 在 [0, a] 是减函数,则 a 的最大值是 A. π 4 B. π 2 C. 3π 4 D. π 11.已知 F1 , F2 是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点,若 PF1 ? PF2 ,且 ?PF2 F1 ? 60? , 则 C 的离心率为 A. 1 ? 3 2 B. 2 ? 3 C. 3 ?1 2 D. 3 ? 1 12.已知 f ( x) 是定义域为 (??, ??) 的奇函数,满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) .若 f (1) ? 2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (50) ? A. ? 50 B.0 C.2 D.50 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 、 13.曲线 y ? 2ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为__________. ? x ? 2 y ? 5 ≥ 0, ? 14.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ≥ 0, 则 z ? x ? y 的最大值为__________. ? x ? 5 ≤ 0, ? 15.已知 tan(α ? 5π 1 ) ? ,则 tan α ? __________. 4 5 16.已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA , SB 互相垂直, SA 与圆锥底面所成角为 30 ? ,若 △SAB 的面积为 8 ,则该圆锥的体积为__________. 三、 解答题: 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分) 记 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a1 ? ?7 , S3 ? ?15 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)求 Sn ,并求 Sn 的最小值. 18. (12 分) 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回 归模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1, 2, ,17 )建立模型 ? ? ?30.4 ? 13.5t ; ①:y 根据 2010 年至 2016 年的数据 (时间变量 t 的值依次为 1, 2, ? ? 99 ? 17.5t . 建立模型②: y ,7 ) (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 19. (12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 2 2 , PA ? PB ? PC ? AC ? 4 , O 为 AC 的中 点. (1)证明: PO ? 平面 ABC ; (2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC ? 2 MB ,求点 C 到平面 POM 的距离. 20. (12 分) 设抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 过 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 C 交于 A , B 两点, | AB | ? 8 . (1)求 l 的方程 (2)求过点 A , B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 21. (12 分) 1 已知函数 f ? x ? ? x3 ? a x2 ? x ? 1 . 3 ? ? (1)若 a ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)证明: f ( x) 只有一个零点. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) ? x ? 2cos θ , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( θ 为参数) ,直线 l 的参数方 ? y ? 4sin θ ? x ? 1 ? t cos α, 程为 ? ( t 为参数) . ? y ? 2 ? t sin α (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ,求 l 的斜率. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 设函数 f ( x) ? 5 ? | x ? a | ? | x ? 2 | . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ≥ 0 的解集; (2)若 f ( x) ≤1 ,求 a 的取值范围. 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1.D 6.A 7.A 12.C 二、填空题 13.y=2x–2 三、解答题 17.解: (1)设{an}的公差为 d,由题意得 3a1+3d=–15. 由 a1=–7 得 d=2. 所以{an}的通项公式为 an=2n–9. (2)由(1)得 Sn=n2–8n=(n–4)2–16. 所以当 n=4 时,Sn 取得最小值,最小值为–16. 18.解: (1)利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 14.9 15. 8.B 9.C 10.C 11.D 2.C 3.B 4.B 5.D 3 2 16.8π $ 19=226.1(亿元) . y =–30.4+13.5× 利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 $ 9=256.5(亿元) . y =99+17.5× (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下: ( i )从折线图可以看出, 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=–30.4+13.5t 上下,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好 地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有 明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年 开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势, 利用 2010 年至 2016 年的数据建 立的线性模型 $ y =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋 势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到 的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说 明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.解: (1)因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OP⊥AC,且 OP= 2 3 . 连结 OB. 因为 AB=BC= =2. 由 OP 2 ? OB 2 ? PB 2 知,OP⊥OB. 由 OP⊥OB,OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC. 1 2 OB= AC AC , 所以△ABC 为等腰直角三角形, 且 OB⊥AC, 2 2 (2)作 CH⊥OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP⊥CH,所以 CH⊥平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离. 由题设可知 OC= 所以 OM= 1 2 4 2 AC =2,CM= BC = ,∠ACB=45°. 2 3 3 OC ? MC ? sin ?ACB 4 5 2 5 = ,CH= . OM 3 5 4 5 . 5 所以点 C 到平面 POM 的距离为 20.解: (1)由题意得 F(1,0) ,l 的方程为 y=k(x–1) (k>0) . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . ? y ? k ( x ? 1) 由? 2 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 . y ? 4 x ? ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2k 2 ? 4 . k2 4k 2 ? 4 . k2 所以 AB ? AF ? BF ? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 由题设知 4k 2 ? 4 ,k=1. ? 8 ,解得 k=–1(舍去) k2 因此 l 的方程为 y=x–1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2) ,所以 AB 的垂直平分线方程为 y ? 2 ? ?( x ? 3) ,即 y ? ? x ? 5 . 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0) ,则 ? y0 ? ? x0 ? 5, ? x0 ? 3, ? x0 ? 11, ? 解得 ? 或? ? ( y0 ? x0 ? 1) 2 2 ? 16. ?( x0 ? 1) ? ? y0 ? 2 ? y0 ? ?6. ? 2 因此所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 或 ( x ? 11)2 ? ( y ? 6)2 ? 144 . 21.解: 1 3 2 (1)当 a=3 时,f(x)= x ? 3x ? 3x ? 3 ,f ′(x)= x 2 ? 6 x ? 3 . 3 令 f ′(x)=0 解得 x= 3 ? 2 3 或 x= 3 ? 2 3 . 当 x∈(–∞, 3 ? 2 3 )∪( 3 ? 2 3 ,+∞)时,f ′(x)>0; 当 x∈( 3 ? 2 3 , 3 ? 2 3 )时,f ′(x)<0. 故 f(x)在(–∞, 3 ? 2 3 ),( 3 ? 2 3 ,+∞)单调递增,在( 3 ? 2 3 , 3 ? 2 3 ) 单调递减. x3 ? 3a ? 0 . x2 ? x ? 1 x 2 ( x 2 ? 2 x ? 3) x3 ≥0,仅当 x=0 时 g ′(x)=0,所以 ? 3a ,则 g ′(x)= 设 g ( x) = 2 ( x 2 ? x ? 1) 2 x ? x ?1 (2)由于 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 等价于 g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个 零点. 1 1 2 1 1 2 又 f(3a–1)= ?6a ? 2a ? ? ?6(a ? ) ? ? 0 ,f(3a+1)= ? 0 ,故 f(x)有一个零 3 6 6 3 点. 综上,f(x)只有一个零点. 22.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y 2 ? ?1. 4 16 当 cos ? ? 0 时, l 的直角坐标方程为 y ? tan ? ? x ? 2 ? tan ? , 当 cos ? ? 0 时, l 的直角坐标方程为 x ? 1 . (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程 (1 ? 3cos2 ? )t 2 ? 4(2cos ? ? sin ? )t ? 8 ? 0 .① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1, 2) 在 C 内,所以①有两个解,设为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t2 ? 0 . 又 由 ① 得 t1 ? t2 ? ? k ? tan ? ? ?2 . 4(2cos ? ? sin ? ) , 故 2 cos ? ? sin ? ? 0 , 于 是 直 线 l 的 斜 率 1 ? 3cos2 ? 23.解: (1)当 a ? 1 时, ?2 x ? 4, x ? ?1, ? f ( x) ? ?2, ?1 ? x ? 2, ??2 x ? 6, x ? 2. ? 可得 f ( x) ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} . (2) f ( x) ? 1 等价于 | x ? a | ? | x ? 2 |? 4 . 而 | x ? a | ? | x ? 2 |?| a ? 2 | ,且当 x ? 2 时等号成立.故 f ( x) ? 1 等价于 | a ? 2 |? 4 . 由 | a ? 2 |? 4 可得 a ? ?6 或 a ? 2 ,所以 a 的取值范围是 (??, ?6] [2, ??)
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