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2019年北京卷理科数学高考真题_高三数学_数学_高中教育_教育专区

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2019年北京卷理科数学高考真题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的


2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1) (A) 3 (B) 5 (C)3 (D)5 (2)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (3)已知直线 l 的参数方程为 ì í ? x y = = 1+ 3t 2 + 4t (t 为参数),则点(1,0) 到直线 l 的距离是 (A) 1 5 (B) 2 5 (C) 4 5 (D) 6 5 (4)已知椭圆 2 x 2 a + 2 y 2 b = 1 (a>b>0)的离心率为 1 2 ,则 (A)a2=2b2. (B)3a2=4b2. (C)a=2b (D)3a=4b (5)若 x , y 满足 的最大值为 (A)-7 (B)1 (C)5 (D)7 (6)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 m2 - m1 = 5 2 lg E1 E2 ,其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek( k = 1, 2 )。已知太阳的星等为-26.7, 天狼星的星等为-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 (A)1010.1 (B)10.1 (C) lg10.1 (D)10-10.1 (7)设点 A, B, C不共线,则“ 与 的夹角是锐角”是“ ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 C : x2 + y2 = 1+ x y 就是其中之一(如 图)。给出下列三个结论: ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ; ③ 曲线 C 所围城的“心形”区域的面积小于 3. 其中,所有正确结论的序号是 (A)① (B)② (C)①② (D)①②③ 第二部分(非选择题共 10 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) 函数 f (x) = sin2 2x 的最小正周期是 ________。 (10) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=-3,S5=-10,则 a3= ________ . Sn 的最小值为 _______。 (11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正 方形的边长为 1,那么该几何体的体积为________。 (12) 已知 l、m 是平面 a 外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l⊥m; ② m∥a; ③l⊥a 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: ______ 。 (13) 设函数 f (x) = ex + ae-x (a 为常数),若 f(x)为奇函数,则 a=______; 若 f(x)是 R 上的 增函数,则 a 的取值范围是 ________。 (14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。价 格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒,为增加销量,李明对这四种水果进行促 销:一次购买水果的总价达到 120 元,顾客就少付 x 元,每笔订单顾客网上支付成功后,李 明会得到支付款的 80%。 ①当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,需要支付 _______ 元: ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大 值为________ 。 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。。 (15)(本小题 13 分) 在 中, a = 3, b - c = 2 , cos B ? ? 1 2 . (Ⅰ)求 b,c 的值; (Ⅱ)求 sin(B - C) 的值。 (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求二面角 F-AE-P 的余弦值; PG 2 (Ⅲ)设点 G 在 PB 上,且 PB = 3 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内,说明理由. (17)(本小题 13 分) 改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变。近年来,移动支付已成为主要支 付方式之一。为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生 中随机抽取了 100 人,发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人,样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下: 支付金额(元) (0,1000] (1000,2000] 大于 2000 支付方式 仅使用 A 仅使用 B 18 人 10 人 9人 3人 14 人 1人 (Ⅰ)从全校学生中随机抽取 1 人,估计该学生上个月 A,B 两个支付方式都使用的概率; (Ⅱ)从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人,以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化,现从样本仅使用 A 的学生中,随 机抽查 3 人,发现他们本月的支付金额大于 2000 元。根据抽查结果,能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化?说明理由。 (18) (本小题 14 分) 已知抛物线C : x 2 = -2py 经过点(2,-1)。 (I) 求抛物线 C 的方程及其准线方程; (II) 设 O 为原点,过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M,N,直 线 y=-1 分别交直线 OM,ON 于点 A 和点 B,求证:以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的 两上定点。 (19) (本小题 13 分) 已知函数f(x) = 1 x 3 - x 2 + x 。 4 (I) 求曲线 y = f(x)的斜率为 1 的切线方程; (II) (III) 设 M(a),当 M(a)最小时,求 a 的值。 ,记 F(x)在区间[-2,4]上的最大值为 (20) (本小题 13 分) 已 知 数 列 {an} , 从 中 选 取 第 i1 项 、 第 i2 项 、 … 、 第 im 项 (i1 <i2<…<im) , 若 ,则称新数列 为{an}的长度为 m 的递增子列。规 定:数列{an}的任意一项都是{an}的长度为 1 的递增子列。 (I) 写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4 的递增子列; (II) 已知数列{an}的长度为 P 的递增子列的末项的最小值为 ,长度为 q 的递增子列的 末项的最小值为 ano ,若 p<q,求证: ; (III) 设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等,若{an}的长度为 s 的递 增子列末项的最小值为 2s-1,且长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有 2s-1 个(s=1,2,…), 求数列{an}的通项公式。
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