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2019年天津卷文科数学高考真题_高考_高中教育_教育专区

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2019年天津卷文科数学高考真题_高考_高中教育_教育专区。2019 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷


2019 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: ·如果事件 A,B 互斥,那么 P(A B) ? P(A) ? P(B) . ·圆柱的体积公式V ? Sh ,其中 S 表示圆柱的底面面积, h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式V ? 1 Sh ,其中 S 表示棱锥的底面面积, h 表示棱锥的高. 3 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {?1,1, 2,3,5}, B ? {2,3, 4}, C ? {x ? R |1? x ? 3} ,则 (A C) B ? (A){2} (B){2,3} (C){-1,2,3} (D){1,2,3,4} ?x ? y ? 2 ? 0, (2)设变量 x,y 满足约束条件 ?? ? ? x? y? x…?1, 2 ? 0, 则目标函数 z ? ?4x ? y 的最大值为 ?? y…?1, (A)2 (B)3 (C)5 (D)6 (3)设 x ?R ,则“ 0 ? x ? 5 ”是“| x ?1|? 1”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出 S 的值为 (A)5 (B)8 (C)24 (D)29 (5)已知 a ? log2 7, b ? log3 8, c ? 0.30.2 ,则 a,b,c 的大小关系为 (A) c ? b ? a (B) a ? b ? c (c) b ? c ? a (D) c ? a ? b (6)已知抛物线 y2 ? 4x 的焦点为 F,准线为 l.若 l 与双曲线 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的两条渐近线分别 交于点 A 和点 B,且|AB |? 4 | OF | (O 为原点),则双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 5 (7)已知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,| ? |? π) 是奇函数,且 f ? x? 的最小正周期为 π,将 y ? f ? x? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 g ? x? . 若 g ? ?? π 4 ? ?? ? 2 ,则 f ? ?? 3π 8 ? ?? ? (A)-2 (B) ? 2 (C) 2 (D)2 (8)已知函数 f (x) ? ??2 ?1 ?? x , x, 0 ? x ? 1, 若关于 x 的方程 f (x) ? ? 1 x ? a(a ? R) 恰有两个互异的实数解, x ? 1. 4 则 a 的取值范围为 (A) ? ?? 5 4 , 9 4 ? ?? (B) ? ?? 5 4 , 9 4 ? ?? (C) ? ?? 5 4 , 9 4 ? ?? {1} (D) ? ?? 5 4 , 9 4 ? ?? {1} 2019 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)i 是虚数单位,则 5 ? i 的值为__________. 1? i (10)设 x ?R ,使不等式 3x2 ? x ? 2 ? 0 成立的 x 的取值范围为__________. (11)曲线 y ? cos x ? x 在点 (0,1) 处的切线方程为__________. 2 (12)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,侧棱长均为 5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. (x ?1)(2 y ?1) (13)设 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 4 ,则 的最小值为__________. xy (14)在四边形 ABCD中,AD ∥ BC, AB ? 2 3, AD ? 5, ?A ? 30? ,点 E 在线段 CB 的延长线上, 且 AE ? BE ,则 BD ? AE ? __________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 2019 年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人,现采用 分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况. (Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (Ⅱ)抽取的 25 人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人,分别记为 A, B, C, D, E, F .享受 ○ 情况如下表,其中“ ”表示享受,“×”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ ×○○ 大病医疗 × × × ○ × × ○ 住房贷款利息 ○ × ×○○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件 M 发生的概率. (16)(本小题满分 13 分) 在△ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c .已知 b ? c ? 2a , 3csin B ? 4asin C . (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)求 sin ? ?? 2B ? π 6 ? ?? 的值. (17)(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD为平行四边形,△PCD 为等边三角形,平面 PAC ? 平 面 PCD, PA ? CD,CD ? 2, AD ? 3. (Ⅰ)设 G,H 分别为 PB,AC 的中点,求证: GH∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证: PA ?平面 PCD; (Ⅲ)求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值. (18)(本小题满分 13 分) 设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于 0,已知 a1 ? b1 ? 3, b2 ? a3, b3 ? 4a2 ? 3 . (Ⅰ)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn ? ?????1b,n2,n为n为奇偶数数,.求 a1c1 ? a2c2 ? ? a2nc2n (n ? N* ) . (19)(本小题满分 14 分) 设椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ?b ? 0) 的左焦点为 F,左顶点为 A,上顶点为 B.已知 3 | OA |? 2 | OB | (O 为 原点). (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设经过点 F 且斜率为 3 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P,圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切, 4 圆心 C 在直线 x=4 上,且 OC∥AP ,求椭圆的方程. (20)(本小题满分 14 分) 设函数 f (x) ? ln x ? a(x ?1)ex ,其中 a ?R . (Ⅰ)若 a≤0,讨论 f (x) 的单调性; (Ⅱ)若 0 ? a ? 1 , e (i)证明 f (x) 恰有两个零点; (ii)设 x0 为 f (x) 的极值点, x1 为 f (x) 的零点,且 x1 ? x0 ,证明 3x0 ? x1 ? 2 . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类)参考解答 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. (1)D (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 30 分. (9) 13 (12) ? 4 三.解答题 (10) ? ?? ?1, 2 3 ? ?? (13) 9 2 (11) x+2 y ? 2=0 (14) ?1 (15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式 等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分. 解:(Ⅰ)由已知,老、中、青员工人数之比为 6 : 9 : 10 ,由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员 工,因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人,9 人,10 人. (Ⅱ)(i)从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 {A, B},{A, C},{A, D},{A, E},{A, F},{B, C}, {B, D},{B, E},{B, F},{C, D},{C, E}, {C, F}, {D, E},{D, F},{E, F} ,共 15 种. (ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为 {A, B},{A, D},{A, E},{A, F},{B, D},{B, E},{B, F},{C, E},{C, F},{D, F},{E, F} ,共 11 种. 所以,事件 M 发生的概率 P(M ) ? 11 . 15 (16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正 弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分 13 分. (Ⅰ)解:在△ABC 中,由正弦定理 b ? c ,得 bsin C ?csin B ,又由 3csin B ? 4asin C , sin B sin C 得 3bsin C ? 4asin C , 即 3b ? 4a . 又 因 为 b ? c ? 2 a, 得到 b ? 4 a , c ? 2 a . 由 余弦 定理 可得 3 3 cos B ? a2 ? c2 ? b2 2ac ? a2 ? 4 a2 ? 16 a2 99 2?a? 2a ??1 4 . 3 ( Ⅱ ) 解 : 由 ( Ⅰ ) 可 得 sin B ? 1? cos2 B ? 15 , 从 而 sin 2B ? 2sin B cos B ? ? 15 , 4 8 cos 2B ? cos2 B ? sin2 B ? ? 7 ,故 8 sin ? ?? 2B ? ? 6 ? ?? ? sin 2B cos ? 6 ? cos 2B sin ? 6 ? ? 15 ? 3?7?1 ??3 5?7 . 8 2 82 16 (17)本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分 13 分. (Ⅰ)证明:连接 BD ,易知 AC BD ? H ,BH ? DH .又由 BG = PG ,故 GH ∥PD .又因为GH ? 平面 PAD, PD ? 平面 PAD,所以 GH∥平面 PAD. (Ⅱ)证明:取棱 PC 的中点 N,连接 DN.依题意,得 DN⊥PC,又因为平面 PAC ? 平面 PCD,平面 PAC 平面 PCD? PC,所以 DN ? 平面 PAC,又 PA ? 平面 PAC,故 DN ? PA.又已知 PA? CD, CD DN ? D ,所以 PA ?平面 PCD. (Ⅲ)解:连接 AN,由(Ⅱ)中 DN ? 平面 PAC,可知 ?DAN 为直线 AD 与平面 PAC 所成的角, 因为△PCD 为等边三角形,CD=2 且 N 为 PC 的中点,所以 DN ? 3 .又 DN ? AN , 在 Rt△AND 中, sin ?DAN ? DN ? 3 . AD 3 所以,直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 . 3 (18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识,考查数列求和的基 本方法和运算求解能力.满分 13 分. (Ⅰ)解:设等差数列 ?an? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q .依题意,得 ?3q ? 3 ? 2d, ??3q2 ? 15 ? 4d , 解得 ?d ??q ? 3, 故 ? 3, an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n, bn ? 3? 3n?1 ? 3n . 所以,?an? 的通项公式为 an ? 3n ,?bn? 的通项公式为 bn ? 3n . (Ⅱ)解: a1c1 ? a2c2 ? ? a2nc2n ? ? ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ? a2n?1 ? a2b1 ? a4b2 ? a6b3 ? ? a2nbn ? ???n ? 3 ? n(n ?1) 2 ? 6??? ? (6 ? 31 ? 12 ? 32 ? 18 ? 33 ? ? 6n ? 3n ) ? ? ? 3n2 ? 6 1?31 ? 2?32 ? ? n?3n . 记 Tn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? ? n ? 3n ,① 则 3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ? n ? 3n?1,② ? ? ②?①得, 2Tn ? ?3 ? 32 ?33 ? 3 1? 3n ? 3n ? n?3n?1 ? ? ? n?3n?1 ? (2n ?1)3n?1 ?3 . 1?3 2 所以, a1c1 ? a2c2 ? ? a2nc2n ? 3n2 ? 6Tn ? 3n2 ? 3? (2n ?1)3n?1 2 ?3 ? ? ? (2n ?1)3n?2 ? 6n2 ? 9 n ? N? . 2 (19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为 c,由已知有 3a ? 2b ,又由 a2 ? b2 ? c2 ,消去 b 得 a2 ? ? ?? ? 3 2 a ?2 ??? ? c2 , 解得 c ? 1 . a2 所以,椭圆的离心率为 1 . 2 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, a ? 2c, b ? 3c ,故椭圆方程为 x2 4c2 ? y2 3c2 ? 1.由题意, F( ? c, 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 3 (x ? c) ? x2 点 P 的坐标满足 ?? ? 4c2 ? y2 3c2 ? 1, 消去 y 并化简,得到 7x2 ? 6cx ?13c2 ? 0, 4 ? ?? y ? 3 4 (x ? c), 解得 x1 ? c, x2 ? ? 13c 7 .代入到 l 的方程,解得 y1 ? 3 2 c, y2 ? ?9 14 c .因为点 P 在 x 轴上方,所以 P ? ?? c, 3 2 c ? ?? .由圆心 C 在直线 x ? 4 上,可设 C (4, t ).因为 OC∥AP ,且由(Ⅰ)知 A( ? 2 c , 0),故 t? 3c 2 ,解得 t ? 2 .因为圆 C 与 x 轴相切,所以圆的半径长为 2,又由圆 C 与 l 相切,得 4 c ? 2c 3 (4 ? c) ? 2 4 ? 2 ,可得 c=2 . 1 ? ? ?? 3 4 2 ? ? ? 所以,椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1. 16 12 (20)本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思 想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:由已知, f (x) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ? 1 x ? ??aex ? a(x ?1)ex ?? ? 1? ax2ex x . 因此当 a≤0 时,1? ax2ex ? 0 ,从而 f ?(x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0, ??) 内单调递增. (Ⅱ)证明:(i)由(Ⅰ)知 f ?(x) ? 1? ax2ex .令 g(x) ? 1? ax2ex ,由 0 ? a ? 1 , x e 可知 g(x) 在 (0, ??) 内单调递减,又 g(1) ? 1? ae ? 0 ,且 g ? ?? ln 1 a ? ?? ?1? a ? ?? ln 1 a 2 ? ?? 1 a ? 1? ? ?? ln 1 a 2 ? ?? ? 0 . 故 g(x) ? 0 在 (0, ??) 内有唯一解,从而 f ?(x) ? 0 在 (0, ??) 内有唯一解,不妨设为 x0 ,则1 ? x0 ?nl 1 . a 当 x ??0, x0 ? 时, f ?( x) ? g(x) x ? g ? x0 x ? ? 0 ,所以 f (x) 在 ?0, x0 ? 内单调递增;当 x ?? x0, ??? 时, f ?( x) ? g(x) x ? g ? x0 x ? ? 0 ,所以 f (x) 在 ? x0,??? 内单调递减,因此 x0 是 f (x) 的唯一极值点. 令 h(x) ? ln x ? x ?1,则当 x ?1时,h'(x) ? 1 ?1 ? 0 ,故 h(x) 在 (1, ??) 内单调递减,从而当 x ?1时, x h(x) ? h(1) ? 0 ,所以 ln x ? x ?1.从而 f ? ?? ln 1? a ?? ? ln ln 1 a ? a ? ?? ln 1 a ? 1??? ln e 1 a ? ln ln 1 a ? ln 1 a ?1 ? h ? ?? ln 1 a ? ?? ? 0, 又因为 f ? x0 ? ? f (1) ? 0 ,所以 f (x) 在 (x0, ??) 内有唯零点.又 f (x) 在 ?0, x0 ? 内有唯一零点 1,从而, f (x) 在 (0, ??) 内恰有两个零点. (ii)由题意, ?? ? ?? f f ?? x0 ? ? 0, ? x1 ? ? 0, 即 ?????lanx0x2e1 x0 ? ? a 1, ? x1 ?1? e x1 , 从而 ln x1 ? x1 ? x02 1 e x1 ? x0 ,即 ex1?x0 ? x02 ln x1 x1 ?1 .因为 ? ? 当 x ?1时,ln x ? x ?1,又 x1 ? x0 ? 1,故 ex1?x0 ? x02 x1 ?1 x1 ?1 ? x02 ,两边取对数,得 ln ex1?x0 ? ln x02 , 于是 x1 ? x0 ? 2ln x0 ? 2? x0 ?1? , 整理得 3 x0 ? x1 ? 2 .
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